Найдите значение параметра , при котором точка является точкой минимума функции

Добавлена: 29.05.2026
Обновлена: 29.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория оптимизации

Найдите значение параметра , при котором точка является точкой минимума функции

Условие:

Найдите значение параметра $a$ , при котором точка $A(3 ; 6)$ является точкой минимума функции

f(x ; y)=(3 a-1) x^{2}+x y+y^{2}-18 a x-\left(a^{2}-2 a\right) y-10

Решение:

Для того чтобы точка $A(3; 6)$ была точкой минимума функции $f(x, y)$ , необходимо выполнение двух условий:

Точка $A$ должна быть стационарной точкой функции (градиент функции в этой точке равен нулю).
В этой точке должен достигаться локальный минимум (матрица Гессе должна быть положительно определенной).

Шаг 1: Нахождение частных производных

Вычислим частные производные функции $f(x, y) = (3a-1)x^2 + xy + y^2 - 18ax - (a^2 - 2a)y - 10$ :

\frac{\partial f}{\partial x} = 2(3a-1)x + y - 18a

\frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y - (a^2 - 2a)

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно быть выполнено для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$, чтобы эта точка являлась точкой локального минимума?

Градиент функции в этой точке должен быть равен нулю, и определитель матрицы Гессе в этой точке должен быть отрицательным.

Градиент функции в этой точке должен быть равен нулю, и матрица Гессе в этой точке должна быть положительно определённой.

Все частные производные первого порядка в этой точке должны быть равны нулю, и хотя бы одна из частных производных второго порядка должна быть положительной.