Вариант 11 Найти частные производные первого и второго порядков [ z=operatorname{arctg} sqrt[3]{x y}+3(sin y)^{x} ]

Чтобы найти частные производные первого и второго порядков функции z = arctg(√[3]{xy}) + 3(sin(y))x, начнем с вычисления частных производных первого порядка. 1. Частная производная z по x (∂z/∂x): Сначала найдем производную от первой части функции: z1 = arctg(√[3]{xy}). Для этого используем правило производной арктангенса и цепное правило: ∂z1/∂x = 1/(1 + (√[3]{xy})2) * ∂(√[3]{xy})/∂x. Теперь найдем ∂(√[3]{xy})/∂x: √[3]{xy} = (xy)^(1/3). Используя правило производной для произведения: ∂(xy)^(1/3)/∂x = (1/3)(xy)^(-2/3) * y = (y/(3√[3]{(xy)2})). Теперь подставим это в формулу для ∂z...