Найти циркуляцию векторного поля по сечению эллипсоида плоскостью (нормаль плоскости образует острый угол с осью ).

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти циркуляцию векторного поля по сечению эллипсоида плоскостью (нормаль плоскости образует острый угол с осью ).

Условие:

Найти циркуляцию векторного поля $\vec{F}=\left(x^{2}+y^{2}\right) \vec{i}+(y+z) \vec{j}+x \vec{k}$ по сечению эллипсоида $2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ плоскостью $z=y-1$ (нормаль плоскости образует острый угол с осью $O Z$ ).

Решение:

Шаг 1. Применим теорему Стокса.
По теореме Стокса циркуляция вдоль замкнутого контура C равна потоку роторa векторного поля по поверхности S, ограниченной контуром C:
∮C F · dr = ∬S (curl F) · n dS,
где n – выбранный единичный нормальный вектор к плоскости (с направлением, чтобы его скалярное произведение с единичным вектором вдоль Oz было положительным).

Шаг 2. Найдём ротор (curl F).
Запишем F = (F1, F2, F3) = (x² + y², y + z, x).
Формула для ротора:
curl F = (∂F3/∂y – ∂F2/∂z, ∂F1/∂z – ∂F3/∂x, ∂F2/∂x – ∂F1/∂y).
Вычисле...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод или теорема является наиболее подходящим для вычисления циркуляции векторного поля по замкнутому контуру в трёхмерном пространстве, когда контур является границей некоторой поверхности?

Теорема Гаусса-Остроградского

Теорема Стокса

Теорема Грина