Реши 2.12. Задача найти дифференциалы первого порядка в точке ( Mleft(x{0}, y{0} ight) ). 2.1. ( u=ln left(x+y+2^{y} ight)+y^{2} rcsin (x), M(0,0) ). 2.2. ( u=ln left(2 x+y+2^{y} ight)+y^{2} rcsin (2 x), M(0,1) ). 2.3. ( u=ln left(x+3 y+2^{3 y} ight)+9

Для решения задачи 2.12, нам нужно найти дифференциалы первого порядка функции

\[
u=\left(x+1+2^{y}\right)^{x+1}+y^{2} \arcsin (x+1)
\]

в точке \( M(-1,1) \).

Шаг...

1. : Используем правило дифференцирования сложной функции и производную степени: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(x+1+2^{y}\right)^{x+1}\right] + \frac{\partial}{\partial x}\left[y^{2} \arcsin (x+1)\right] \] Для первой части: \[ \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(x+1+2^{y}\right)^{x+1}\right] = \left(x+1+2^{y}\right)^{x+1} \left(\ln\left(x+1+2^{y}\right) + \frac{1}{x+1}\right) \] Для второй части: \[ \frac{\partial}{\partial x}\left[y^{2} \arcsin (x+1)\right] = \frac{y^{2}}{\sqrt{1-(x+1)^{2}}} \] Таким образом, полная частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \left(x+1+2^{y}\right)^{x+1} \left(\ln\left(x+1+2^{y}\right) + \frac{1}{x+1}\right) + \frac{y^{2}}{\sqrt{1-(x+1)^{2}}} \] 2. : \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left[\left(x+1+2^{y}\right)^{x+1}\right] + \frac{\partial}{\partial y}\left[y^{2} \arcsin (x+1)\right] \] Для первой части: \[ \frac{\partial}{\partial y}\left[\left(x+1+2^{y}\right)^{x+1}\right] = \left(x+1+2^{y}\right)^{x+1} \cdot 2^{y} \ln(2) \cdot (x+1) \] Для второй части: \[ \frac{\partial}{\partial y}\left[y^{2} \arcsin (x+1)\right] = 2y \arcsin (x+1) \] Таким образом, полная частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \left(x+1+2^{y}\right)^{x+1} \cdot 2^{y} \ln(2) \cdot (x+1) + 2y \arcsin (x+1) \] Теперь подставим \( x = -1 \) и \( y = 1 \): 1. : \[ u(-1, 1) = \left(-1+1+2^{1}\right)^{-1+1}+1^{2} \arcsin (0) = 1 + 0 = 1 \] 2. : \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \left(2\right)^{0} \left(\ln(2) + \frac{1}{0}\right) + \frac{1^{2}}{\sqrt{1-0}} = \text{неопределенность} + 1 \] Здесь мы видим, что \( \frac{1}{0} \) приводит к неопределенности, поэтому нужно быть осторожным. 3. : \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \left(2\right)^{0} \cdot 2 \ln(2) \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \] Теперь, используя найденные частные производные, запишем дифференциал: \[ du = \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|{M(-1, 1)} dy \] Так как \( \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \), то: \[ du = \text{неопределенность} \cdot dx + 0 \cdot dy \] Таким образом, мы видим, что в точке \( M(-1, 1) \) дифференциал функции \( u \) имеет неопределенность по \( x \) и равен нулю по \( y \).