Найти двойным интегрированием объем тела, ограниченного поверхностями. .

Дано:

1. Поверхности:
   • $x^{2}+y^{2}=2x$
   • $x^{2}+y^{2}=2y$
   • $z=x+2y$
   • $z=0$

Найти:

Объем тела, ограниченного вышеуказанными поверхностями.

Решение:

Шаг 1: Преобразуем уравнения окружностей.

Уравнения $x^{2}+y^{2}=2x$ и $x^{2}+y^{2}=2y$ можно привести к стандартному виду окружностей:

1. Перепишем первое уравнение:

   $$x^{2} - 2x + y^{2} = 0 \implies (x-1)^{2} + y^{2} = 1$$
   Это окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $1$.

2. Перепишем второе уравнение:

   $$x^{2} + y^{2} - 2y = 0 \implies x^{2} + (y-1)^{2} = 1$$