Найти гармоническую функцию в шаре \( x^{2}+y^{2}+z^{2}

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Дифференциальные уравнения
#Уравнения математической физики

$Найти гармоническую функцию в шаре \( x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Условие:

Найти гармоническую функцию $u=u(x, y, z)$ в шаре $x^{2}+y^{2}+z^{2}<4$ , если $u(x, y, z)=z\left(4-z^{2}\right)$ при $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ .

Решение:

Мы хотим найти функцию u(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению Лапласа (то есть является гармонической) в сфере

x² + y² + z² < 4

и принимает на граничной поверхности (сферической оболочке) значение

u(x,y,z) = z·(4 – z²) при x² + y² + z² =
4.

Наша цель – построить такой гармонический многочлен u, записанный в виде многочлена по x, y, z, который на сфере совпадает с заданным 4z – z³ (так как z·(4 – z²) = 4z – z³) и сам является решением Δu =
0.

Один из естественных способов – разложить данного вида функцию...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для разложения однородного многочлена $Q_m(x,y,z)$ на гармоническую и негомогенную части при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа?

Метод Фурье-разложения.

Разложение $Q_m(x,y,z) = H_m(x,y,z) + |x|^2 P_{m-2}(x,y,z)$ , где $H_m$ — гармонический однородный многочлен, а $P_{m-2}$ — некоторый многочлен.