Найти координаты вектора в базисе , если известны его координаты в базисе , , и задана связь между базисами: .

Рассмотрим вектор x, координаты которого в базисе {e₁, e₂} заданы как xₑ = (–3, 5), то есть
  x = –3e₁ + 5e₂.

Нам требуется найти его координаты x_f = (a, b) в новом базисе {f₁, f₂}, где
  f₁ = e₁ – e₂
  f₂ = 2e₁ – e₂.

Шаг 1. Запишем выражение вектора x через новый базис:
  x = a·f₁ + b·f₂.

Подставим выражения для f₁ и f₂:
  x = a(e₁ – e₂) + b(2e₁ – e₂) = (a + 2b)e₁ + (–a – b)e₂.

Шаг 2. Приравняем полученные координаты к координатам из базиса {e}:
  –3e₁ + 5e₂ = (a + 2b)e₁ + (–a – b)e₂.

Это даёт систему уравнений:
  для e₁: a + 2b = –3,
  для e₂: –a – b = 5  ⇔ a + b = –5.

Шаг 3. Решим систему уравнений:
  Уравнение (1): a + 2b = –3,
  Уравнение (2): a + b = –5.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
  (a + 2b) – (a + b) = –3 – (–5)
  a + 2b – a – b = 2
  b =
2.

Подставим b = 2 в уравнение (2):
  a + 2 = –5
  a = –7.

Шаг 4. Таким образом, координаты вектора x в базисе {f} равны:
  x_...