Найти координаты вектора в базисе , если известны его координаты в базисе .

Рассмотрим вектор v. Пусть его координаты в базисе e₁′=(1,–1)ᵀ и e₂′=(2,–3)ᵀ равны v₁′ и v₂′, то есть

  v = v₁′·(1, –1)ᵀ + v₂′·(2, –3)ᵀ = (v₁′ + 2v₂′, –v₁′ – 3v₂′).

В то же время, если обозначить координаты вектора v в базисе e₁=(2,3)ᵀ и e₂=(3,4)ᵀ как v₁ и v₂, то

  v = v₁·(2, 3)ᵀ + v₂·(3, 4)ᵀ = (2v₁ + 3v₂, 3v₁ + 4v₂).

Так как представления вектора v через разные базисы должны совпадать, приравниваем координаты по осям:

  2v₁ + 3v₂ = v₁′ + 2v₂′  (1)
  3v₁ + 4v₂ = –v₁′ – 3v₂′  (2)

Найд...