Найти массу однородной дуги: .

Определим длину дуги. Длина дуги $L$ для параметрических уравнений $x(t)$ и $y(t)$ определяется по формуле:

L = ∫(√((dx/dt)² + (dy/dt)²)) dt

где $dx/dt$ и $dy/dt$ - производные по параметру $t$.

Найдем производные. Для заданных уравнений:

$x(t) = a \cos^3 t$

$y(t) = a \sin^3 t$

Вычислим производные:

$dx/dt = a \cdot 3 \cos^2 t (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t$

$dy/dt = a \cdot 3 \sin^2 t \cos t = 3a \sin^2 t \cos t$

Подставим в формулу для длины дуги:

$L = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{(-3a \cos^2 t \sin t)^2 + (3a \sin^2 t \cos t)^2} dt$...