Найти НОД многочлена f(x) и g(x), а также линейное представление НОД f(x); g(x) через многочлены F(x) и g(x), еслиf(x)=x3+x2-25x-25 , g(x)=x2+5x+4

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) многочленов \( f(x) \) и \( g(x) \), мы будем использовать алгоритм Евклида. Давайте начнем с определения многочленов:

\[
f(x) = x^3 + x^2 - 25x - 25
\]
\[
g(x) = x^2 + 5x + 4
\]

Шаг 1: Делен...

Сначала мы разделим \( f(x) \) на \( g(x) \) и найдем остаток. 1. : \[ \frac{x^3}{x^2} = x \] 2. : \[ x \cdot (x^2 + 5x + 4) = x^3 + 5x^2 + 4x \] 3. : \[ f(x) - (x^3 + 5x^2 + 4x) = (x^3 + x^2 - 25x - 25) - (x^3 + 5x^2 + 4x) = -4x^2 - 29x - 25 \] Таким образом, мы получили: \[ r_1(x) = -4x^2 - 29x - 25 \] Теперь мы будем делить \( g(x) \) на \( r_1(x) \). 1. : \[ \frac{x^2}{-4x^2} = -\frac{1}{4} \] 2. : \[ -\frac{1}{4} \cdot (-4x^2 - 29x - 25) = x^2 + \frac{29}{4}x + \frac{25}{4} \] 3. : \[ g(x) - (x^2 + \frac{29}{4}x + \frac{25}{4}) = (x^2 + 5x + 4) - (x^2 + \frac{29}{4}x + \frac{25}{4}) = \left(5 - \frac{29}{4}\right)x + \left(4 - \frac{25}{4}\right) \] \[ = \left(\frac{20}{4} - \frac{29}{4}\right)x + \left(\frac{16}{4} - \frac{25}{4}\right) = -\frac{9}{4}x - \frac{9}{4} \] Таким образом, мы получили: \[ r_2(x) = -\frac{9}{4}(x + 1) \] Теперь мы делим \( r2(x) \): 1. : \[ \frac{-4x^2}{-\frac{9}{4}} = \frac{16}{9}x \] 2. : \[ \frac{16}{9}x \cdot \left(-\frac{9}{4}(x + 1)\right) = -\frac{16}{4}(x^2 + x) = -4x^2 - 4x \] 3. : \[ r_1(x) - (-4x^2 - 4x) = (-4x^2 - 29x - 25) - (-4x^2 - 4x) = -25x - 25 \] Теперь мы получили: \[ r_3(x) = -25(x + 1) \] Теперь мы видим, что \( r3(x) \) имеют общий множитель \( x + 1 \). Таким образом, НОД многочленов \( f(x) \) и \( g(x) \) равен: \[ \text{НОД}(f(x), g(x)) = -\frac{9}{4}(x + 1) \] Теперь мы можем выразить НОД через многочлены \( f(x) \) и \( g(x) \). Мы можем записать: \[ \text{НОД}(f(x), g(x)) = A(x)f(x) + B(x)g(x) \] где \( A(x) \) и \( B(x) \) - многочлены, которые мы можем найти, используя обратный ход алгоритма Евклида. Таким образом, мы нашли НОД многочленов \( f(x) \) и \( g(x) \): \[ \text{НОД}(f(x), g(x)) = -\frac{9}{4}(x + 1) \] И мы можем выразить его через \( f(x) \) и \( g(x) \) с помощью обратного хода алгоритма Евклида.