Найти наименьше и наибольшее значения функции В ответе указать модуль их разности. В ответе сохранить три значащие цифры после запятой.

Добавлена: 10.05.2026
Обновлена: 10.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Условие:

Найти наименьше и наибольшее значения функции

f(x)=\sin ^{8} x+\cos ^{8} x

В ответе указать модуль их разности. В ответе сохранить три значащие цифры после запятой.

Решение:

Обозначим $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 x$ . Тогда $a + b = 1$ .
Запишем функцию через $a$ и $b$ :
$f(x) = a^4 + b^4$
Используем формулу для суммы четвёртых степеней:
$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$
Найдем $a^2 + b^2$ :
$a^2 + b^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 = 1$
Теперь найдем $a^2b^2$ :
$a^2b^2 = (\sin^2 x \cos^2 x)^2 = \left(\frac{1}{4} \sin^2(2x)\right)^2 = \frac{1}{16} \sin^4(2x)$
Подставим это в выражение для $f(x)$ :
$f(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16} \sin^4(2x) = 1 - \frac{1}{8} \sin^4(2x)$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод преобразования тригонометрических выражений является наиболее эффективным для упрощения функции $f(x)=\sin ^{8} x+\cos ^{8} x$ до вида, удобного для нахождения экстремумов?

Использование формул понижения степени для каждого слагаемого до первой степени.

Замена $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$ на новые переменные и последующее применение алгебраических тождеств.