Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении отрезками следующих линий: y=sinx y=0 1) Вокруг оси y=1 2) Вокруг оси y=2 3) Вокруг оси x=2*pi (0<=x<=pi)

Для нахождения объема тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении графика фу...

Для вращения вокруг оси \( y = 1 \) мы можем использовать формулу для объема: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) \, dx \] где \( R \) — расстояние от оси вращения до верхней функции, а \( r \) — расстояние до нижней функции. В нашем случае: - Верхняя функция: \( y = 1 \) - Нижняя функция: \( y = \sin x \) Расстояние \( R \) от оси \( y = 1 \) до верхней функции: \[ R = 1 - \sin x \] Расстояние \( r \) от оси \( y = 1 \) до нижней функции: \[ r = 1 - 0 = 1 \] Теперь подставим в формулу: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} ((1 - \sin x)^2 - 1^2) \, dx \] Упростим выражение: \[ (1 - \sin x)^2 - 1 = 1 - 2\sin x + \sin^2 x - 1 = -2\sin x + \sin^2 x \] Теперь интегрируем: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} (-2\sin x + \sin^2 x) \, dx \] Разделим интеграл на два: \[ V = \pi \left( -2 \int{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx \right) \] Первый интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2 \] Второй интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2} \] Теперь подставим значения: \[ V = \pi \left( -2 \cdot 2 + \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( -4 + \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 4 \right) \] Аналогично, для оси \( y = 2 \): - Верхняя функция: \( y = 2 \) - Нижняя функция: \( y = \sin x \) Расстояние \( R \): \[ R = 2 - \sin x \] Расстояние \( r \): \[ r = 2 - 0 = 2 \] Теперь подставим в формулу: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} ((2 - \sin x)^2 - 2^2) \, dx \] Упростим: \[ (2 - \sin x)^2 - 4 = 4 - 4\sin x + \sin^2 x - 4 = -4\sin x + \sin^2 x \] Теперь интегрируем: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} (-4\sin x + \sin^2 x) \, dx \] Первый интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2 \] Второй интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2} \] Теперь подставим значения: \[ V = \pi \left( -4 \cdot 2 + \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( -8 + \frac{\pi}{2} \right) = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 8 \right) \] Для вращения вокруг оси \( x = 2\pi \): - Верхняя функция: \( y = \sin x \) - Нижняя функция: \( y = 0 \) Расстояние \( R \): \[ R = 2\pi - x \] Расстояние \( r \): \[ r = 2\pi - 0 = 2\pi \] Теперь подставим в формулу: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} ((2\pi - x)^2 - (2\pi)^2) \, dy \] Упростим: \[ (2\pi - x)^2 - 4\pi^2 = 4\pi^2 - 4\pi x + x^2 - 4\pi^2 = -4\pi x + x^2 \] Теперь интегрируем: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} (-4\pi x + x^2) \, dx \] Первый интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} x \, dx = \frac{\pi^2}{2} \] Теперь подставим значения: \[ V = \pi \left( -4\pi \cdot \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^3}{3} \right) = \pi \left( -2\pi^3 + \frac{\pi^3}{3} \right) = \pi \left( -\frac{6\pi^3}{3} + \frac{\pi^3}{3} \right) = \pi \left( -\frac{5\pi^3}{3} \right) \] 1) Объем вокруг оси \( y = 1 \): \( V = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 4 \right) \) 2) Объем вокруг оси \( y = 2 \): \( V = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 8 \right) \) 3) Объем вокруг оси \( x = 2\pi \): \( V = -\frac{5\pi^4}{3} \)