Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кубической параболой y=x3 , прямой y=8 и осью Oy. Построить тело в декартовой системе координат.

Для нахождения объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси \(Oy\), воспользуемся методом дисков или цилиндров.

Шаг 1: Определение границ ин...

Сначала найдем точки пересечения кубической параболы (y = x^3) и прямой (y = 8). Для этого приравняем уравнения:

$$x^3 = 8$$

Решая это уравнение, получаем:

$$x = 2$$

Таким образом, фигура ограничена следующими границами:

• Снизу: ось (Oy) (где (x = 0))
• Сверху: прямая (y = 8)
• Слева: кубическая парабола (y = x^3)
• Справа: вертикальная линия (x = 2)

Объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси (Oy), можно найти по формуле:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 \, dy$$

где (R(y)) — это радиус, равный (x) в зависимости от (y), а (a) и (b) — границы по оси (y).

Из уравнения (y = x^3) выразим (x):

$$x = y^{1/3}$$

Таким образом, радиус (R(y) = y^{1/3}).

Границы интегрирования по оси (y) будут от (0) до (8) (от оси (x) до прямой (y = 8)).

Теперь подставим все в формулу для объема:

$$V = \pi \int{0}^{8} y^{2/3} \, dy$$

Вычислим интеграл:

$$\int y^{2/3} \, dy = \frac{y^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} = \frac{y^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5} y^{5/3}$$

Теперь подставим границы интегрирования:

$$V = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{0}^{8} = \pi \left( \frac{3}{5} (8^{5/3}) - \frac{3}{5} (0^{5/3}) \right)$$

Сначала найдем (8^{5/3}):

$$8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$$

Теперь подставим это значение в формулу для объема:

$$V = \pi \left( \frac{3}{5} \cdot 32 \right) = \pi \cdot \frac{96}{5}$$

Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси (Oy), равен:

$$V = \frac{96\pi}{5}$$

Для построения тела в декартовой системе координат:

1. Нарисуйте ось (Oy) и ось (Ox).
2. Постройте кубическую параболу (y = x^3).
3. Проведите горизонтальную линию (y = 8).
4. Обозначьте область, ограниченную параболой, прямой и осью (Oy).
5. Визуализируйте вращение этой области вокруг оси (Oy) (это будет тело вращения).

Таким образом, мы нашли объем тела и описали процесс построения.