Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОX области, ограниченной кривыми ( y=x^{2} ) и ( y=v x ), воспользуемся методом вращающих срезов (методом колец). Шar 1. Найдем точки пересечения кривых. Приравняем: ( quad mathrm{x}^{2}=mathrm{Vx} ) Возведём

Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОX области, ограниченной кривыми \( y=x^{2} \) и \( y=v x \), воспользуемся методом вращающих срезов (методом колец).

Шar 1. Найдем точки пересечения кривых.
Приравняем: \( \quad \mathrm{x}^{2}=\mathrm{Vx} \)
Возведём \( \mathbf{V} \) х в квадрат (но удобнее переписать \( V \times \) как \( x^{\wedge}(1 / 2) \) ): \( \quad x^{2}=x^{\wedge}(1 / 2) \)
Чтобы избавиться от корня, можно возвести обе части в квадрат или привести к общему виду. Лучше перепишем уравнение
следующим образом: \( \quad x^{2}-x^{\wedge}(1 / 2)=0 \)
Вынесем \( x^{\wedge}(1 / 2): \quad x^{\wedge}(1 / 2)\left(x^{\wedge}(3 / 2)-1\right)=0 \)
Отсюда:
1. \( x^{\wedge}(1 / 2)=0 \rightarrow x=0 \),
2. \( x^{\wedge}(3 / 2)-1=0 \rightarrow x^{\wedge}(3 / 2)=1 \rightarrow x=1 \).

Таким образом, точки пересечения: \( \mathbf{x}=0 \) и \( \mathbf{x = 1} \).
Шаг 2. Определим, какая кривая находится выше на отрезке \( [0,1] \).
Проверим, например, в точке \( x=0.25: \quad y=(0.25)^{2}=0.0625, \quad y=v 0.25=0.5 \). Таким образом, на \( [0,1] \) функция \( y=v x \) лежит выше, а \( y=x^{2}- \) ниже.

При вращении области вокруг оси ОХ мы получаем кольца (чашечки). При данном методе объём элемента приращения определяется как разность между внешним и внутренним радиусом.

Шar 3. Запишем формулу для объёма методом колец.
Для вращения вокруг оси \( O X \) при интегрировании по \( x \) будем иметь: \( \quad d V=\pi\left[R^{2}(x)-r^{2}(x)\right] d x \), где \( R(x) \) - внешний радиус (расстояние от оси ОХ до верхней функции), ar(x) - внутренний радиус (расстояние от оси OX до нижней функции).

В нашем случае: \( \quad R(x)=v x \quad n \quad r(x)=x^{2} \).
Таким образом: \( \quad \mathrm{dV}=\boldsymbol{\pi}\left[(\mathrm{Vx})^{2}-\left(\mathrm{x}^{2}\right)^{2}\right] \mathrm{dx}=\boldsymbol{\pi}\left[\mathrm{x}-\mathrm{x}^{4}\right] \mathrm{dx} \).
Шаг 4. Вычислим объём, проинтегрировав по \( x \) от 0 до 1 .
Общий объём: \( \quad V=\boldsymbol{\pi} \int 0^{1}\left(x-x^{4}\right) d x \).
Выполним интегрирование: \( \quad \int{0}{ }^{1} x d x=\left[x^{2} / 2\right] \) от О до \( 1=1 / 2, \quad \int{0}{ }^{1} x^{4} d x=\left[x^{5} / 5\right] \) от 0 до \( 1=1 / 5 \).
Таким образом: \( \quad V=\pi[(1 / 2)-(1 / 5)]=\pi[(5-2) / 10]=\pi(3 / 10)=(3 \pi) / 10 \).
Шar 5. Запишем окончательный ответ.
Объём тела, образованного вращением заданной области вокруг оси ОX, равен: \( \quad V=(3 \pi) / 10 \).
Таким образом, ответ: (3п)/10.