Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) вида $y'' + 25y = 5x^2 - 10x + 1$ воспользуемся методом наложения: общее решение $y$ складывается из общего решения однородного уравнения $y_{oo}$ и частного решения неоднородного уравнения $y_{чн}$.

1. Нахождение общего решения однородного уравнения $y_{oo}$

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

Составим характеристическое уравнение:

Так как корни чисто мнимые ($\alpha = 0, \beta = 5$), общее решение однородного уравнения имеет вид: