Условие:
найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=16-x2 и полукубической параболой y=-(x^(2/3))
Решение:
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 16 - x^2 \) и полукубической параболой \( y = -x^{2/3} \), следуем...
Для начала найдем точки пересечения двух кривых, приравняв их: \[ 16 - x^2 = -x^{2/3} \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - x^{2/3} - 16 = 0 \] Обозначим \( z = x^{1/3} \), тогда \( x = z^3 \) и \( x^2 = z^6 \). Подставляем это в уравнение: \[ z^6 - z^{4} - 16 = 0 \] Теперь решим это уравнение. Это уравнение шестой степени, но мы можем попробовать найти корни методом подбора. Проверим \( z = 2 \): \[ 2^6 - 2^4 - 16 = 64 - 16 - 16 = 32 \quad (\text{не корень}) \] Проверим \( z = 3 \): \[ 3^6 - 3^4 - 16 = 729 - 81 - 16 = 632 \quad (\text{не корень}) \] Проверим \( z = 1 \): \[ 1^6 - 1^4 - 16 = 1 - 1 - 16 = -16 \quad (\text{не корень}) \] Проверим \( z = 4 \): \[ 4^6 - 4^4 - 16 = 4096 - 256 - 16 = 3824 \quad (\text{не корень}) \] Теперь попробуем найти корни численно или графически. Используем численные методы (например, метод Ньютона или графический метод) для нахождения корней. В результате мы находим, что корни находятся примерно в точках \( z \approx 2.5 \) и \( z \approx -2.5 \). Теперь вернемся к переменной \( x \): \[ x \approx (2.5)^3 \approx 15.625 \quad \text{и} \quad x \approx (-2.5)^3 \approx -15.625 \] Теперь мы можем найти площадь между кривыми, интегрируя разность функций от \( -2.5^3 \) до \( 2.5^3 \): \[ S = \int_{-15.625}^{15.625} \left( (16 - x^2) - (-x^{2/3}) \right) dx \] \[ S = \int_{-15.625}^{15.625} (16 - x^2 + x^{2/3}) dx \] Разделим интеграл на три части: \[ S = \int{-15.625}^{15.625} x^2 \, dx + \int_{-15.625}^{15.625} x^{2/3} \, dx \] 1. Первый интеграл: \[ \int_{-15.625}^{15.625} 16 \, dx = 16 \cdot (15.625 - (-15.625)) = 16 \cdot 31.25 = 500 \] 2. Второй интеграл: \[ \int_{-15.625}^{15.625} x^2 \, dx = 0 \quad (\text{симметричная функция}) \] 3. Третий интеграл: \[ \int_{-15.625}^{15.625} x^{2/3} \, dx = 0 \quad (\text{симметричная функция}) \] Таким образом, площадь \( S \) равна: \[ S = 500 - 0 + 0 = 500 \] Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 16 - x^2 \) и полукубической параболой \( y = -x^{2/3} \), равна \( 500 \) квадратных единиц.