Реши задачу по математике: Найти площадь кривообразной трапеции y= (x+1) , y=1-x и осью ох

Чтобы найти площадь кривообразной трапеции, заданной уравнениями \(y = x + 1\), \(y = 1 - x\) и осью \(Ox\), нам нужн...

Для начала найдем точки пересечения кривых \(y = x + 1\) и \(y = 1 - x\). Для этого приравняем их: \[ x + 1 = 1 - x \] Решим это уравнение: \[ x + x = 1 - 1 \] \[ 2x = 0 \] \[ x = 0 \] Теперь подставим значение \(x = 0\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\): \[ y = 0 + 1 = 1 \] Таким образом, одна точка пересечения — это \((0, 1)\). Теперь найдем вторую точку пересечения, подставив \(y = 0\) в оба уравнения: 1. Для \(y = x + 1\): \[ 0 = x + 1 \implies x = -1 \] 2. Для \(y = 1 - x\): \[ 0 = 1 - x \implies x = 1 \] Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \((-1, 0)\) и \((1, 0)\). Теперь мы знаем, что кривые пересекаются в точках \((-1, 0)\) и \((1, 0)\). Площадь, которую мы хотим найти, находится между этими двумя точками. Площадь между кривыми можно найти, вычислив определенный интеграл разности функций: \[ S = \int_{-1}^{1} ((1 - x) - (x + 1)) \, dx \] Упростим выражение под интегралом: \[ (1 - x) - (x + 1) = 1 - x - x - 1 = -2x \] Теперь подставим это в интеграл: \[ S = \int_{-1}^{1} -2x \, dx \] Вычислим интеграл: \[ S = -2 \int_{-1}^{1} x \, dx \] Зная, что \(\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\), мы можем вычислить: \[ \int{-1}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \] Таким образом, \[ S = -2 \cdot 0 = 0 \] Однако, это не соответствует ожиданиям, так как площадь не может быть равна нулю. Мы должны учитывать, что площадь между кривыми не может быть отрицательной, поэтому мы берем модуль: \[ S = 2 \cdot \int{0}^{1} -2x \, dx \] Теперь пересчитаем: \[ S = 2 \cdot \left[ -x^2 \right]_{0}^{1} = 2 \cdot (-1^2 - 0) = 2 \cdot (-1) = -2 \] Но так как мы ищем площадь, то: \[ S = 2 \] Таким образом, площадь кривообразной трапеции равна \(2\).