Найти поток через плоскость в первом октанте.

Чтобы найти поток вектора $\vec{a}$ через плоскость $S: x+2y+2z=4$ в первом октанте, мы будем использовать формулу потока:

где $\vec{n}$ — нормальный вектор к поверхности $S$, а $dS$ — элемент площади.

1. Найдем нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $S$. Уравнение плоскости можно записать в виде $Ax + By + Cz = D$, где $A = 1, B = 2, C = 2, D = 4$. Нормальный вектор будет равен $\vec{n} = (A, B, C) = (1, 2, 2)$.

2. Нормализация нормального вектора:

   $$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$
   Нормализованный вектор:
   $$\hat{n} = \frac{1}{3}(1, 2, 2) = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$$
   ...