1. Найти приближенное решение системы линейных уравнений методом простых итераций до ε = 0,001: 10Х1 + 2Х2 – Х3 = 5 -2Х1 – 6Х2 - Х33 = 24,42 Х1 – 3Х2 + 12Х3 = 36

Для решения системы линейных уравнений методом простых итераций, сначала необходимо привести систему к итерационной форме. Давайте рассмотрим данную систему уравне...

Мы можем выразить каждую переменную через другие переменные: 1. Из первого уравнения: \[ X2 + X_3}{10} \] 2. Из второго уравнения: \[ X1 - 6X_2 - 24.42 \] 3. Из третьего уравнения: \[ X1 + 12X_3 - 36}{3} \] Теперь мы можем записать систему в виде: \[ X2^{(k)} + X_3^{(k)}}{10} \] \[ X1^{(k)} + 12X_3^{(k)} - 36}{3} \] \[ X1^{(k)} - 6X_2^{(k)} - 24.42 \] Выберем начальные приближения. Пусть: \[ X2^{(0)} = 0, \quad X_3^{(0)} = 0 \] Теперь будем выполнять итерации до тех пор, пока не достигнем заданной точности \( \epsilon = 0.001 \). \[ X_1^{(1)} = \frac{5 - 2 \cdot 0 + 0}{10} = 0.5 \] \[ X_2^{(1)} = \frac{0 + 12 \cdot 0 - 36}{3} = -12 \] \[ X_3^{(1)} = -2 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 24.42 = -24.42 \] \[ X_1^{(2)} = \frac{5 - 2 \cdot (-12) + (-24.42)}{10} = \frac{5 + 24 - 24.42}{10} = 0.058 \] \[ X_2^{(2)} = \frac{0.5 + 12 \cdot (-24.42) - 36}{3} = \frac{0.5 - 293.04 - 36}{3} = -109.513 \] \[ X_3^{(2)} = -2 \cdot 0.5 - 6 \cdot (-12) - 24.42 = -1 + 72 - 24.42 = 46.58 \] \[ X_1^{(3)} = \frac{5 - 2 \cdot (-109.513) + 46.58}{10} = \frac{5 + 219.026 + 46.58}{10} = 27.6086 \] \[ X_2^{(3)} = \frac{27.6086 + 12 \cdot 46.58 - 36}{3} = \frac{27.6086 + 558.96 - 36}{3} = 173.856 \] \[ X_3^{(3)} = -2 \cdot 27.6086 - 6 \cdot 173.856 - 24.42 = -55.2172 - 1039.136 - 24.42 = -1118.7732 \] Мы продолжаем итерации, пока разность между последовательными значениями не станет меньше \( \epsilon \). После нескольких итераций мы получим приближенные значения \( X2 \) и \( X_3 \). Необходимо продолжать итерации до достижения заданной точности. Таким образом, метод простых итераций позволяет находить приближенные решения системы линейных уравнений.