Найти производящую функцию канонического преобразования F(p,Q,t), при которой связь старых координат и импульсов ( qi , pi ) с новыми ( Qi , Pi ) имеет вид pi = Qi , Pi =- qi

Для нахождения производящей функции канонического преобразования $F(p, Q, t)$, которая связывает старые координаты и импульсы $(qi, pi)$ с новыми $(Qi, Pi)$, мы начнем с заданных условий:

1. $pi = Qi$
2. $Pi = -qi$

Производящая функция $F$ может быть выбрана в зависимости от того...

Мы знаем, что производящая функция может быть записана в виде:

Подставим выражения для новых переменных:

Для проверки каноничности преобразования, необходимо убедиться, что выполняются условия:

Вычислим производные:

1. pi} = -2q_i
2. Qi} = 0

Однако, мы видим, что производные не совпадают с заданными условиями. Это означает, что мы выбрали неправильную форму производящей функции.

Попробуем другую форму производящей функции, которая будет зависеть от $q$ и $P$:

Подставим $Pi$:

Теперь проверим производные:

1. pi} = -2q_i
2. Qi} = q_i

Мы видим, что производные не совпадают с условиями. Поэтому, давайте попробуем другую форму:

Теперь проверим производные:

1. pi} = P_i
2. Qi} = qi

Таким образом, производящая функция, которая соответствует заданным преобразованиям, может быть записана как:

где константа может быть выбрана произвольно, так как она не влияет на каноничность преобразования.

Производящая функция канонического преобразования имеет вид:

где $C$ — произвольная константа.