Найти производную по направлению x, y= 3x-4/2x+3y направление вектора а ={-4;-3} в точке (1;-1)

Чтобы найти производную функции \( y = \frac{3x - 4}{2x + 3y} \) по направлению вектора \( \mathbf{a} ...

Сначала найдем частные производные функции \( y \) по \( x \) и \( y \). Функция \( y \) задана как: \[ y = \frac{3x - 4}{2x + 3y} \] Для удобства, обозначим \( z = y \). Тогда у нас есть: \[ z = \frac{3x - 4}{2x + 3z} \] Теперь найдем частные производные \( \frac{\partial z}{\partial x} \) и \( \frac{\partial z}{\partial y} \). Для нахождения производной \( z \) по \( x \) используем правило частного производного: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(2x + 3z)(3) - (3x - 4)(2)}{(2x + 3z)^2} \] Теперь подставим \( x = 1 \) и \( y = -1 \) в уравнение, чтобы найти \( z \): \[ z = \frac{3(1) - 4}{2(1) + 3(-1)} = \frac{3 - 4}{2 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1 \] Теперь подставим \( z = 1 \) в производную: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(2(1) + 3(1))(3) - (3(1) - 4)(2)}{(2(1) + 3(1))^2} \] \[ = \frac{(2 + 3)(3) - (3 - 4)(2)}{(2 + 3)^2} = \frac{5 \cdot 3 - (-1)(2)}{5^2} = \frac{15 + 2}{25} = \frac{17}{25} \] Теперь найдем \( \frac{\partial z}{\partial y} \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(2x + 3y)(0) - (3x - 4)(3)}{(2x + 3y)^2} \] Подставляем \( x = 1 \) и \( y = -1 \): \[ = \frac{(2(1) + 3(-1))(0) - (3(1) - 4)(3)}{(2(1) + 3(-1))^2} = \frac{(2 - 3)(0) - (-1)(3)}{(-1)^2} = \frac{0 + 3}{1} = 3 \] Теперь у нас есть частные производные: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{17}{25}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \] Градиент функции \( z \) в точке \( (1, -1) \) будет: \[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \left( \frac{17}{25}, 3 \right) \] Теперь найдем производную по направлению вектора \( \mathbf{a} \). Для этого сначала нормализуем вектор \( \mathbf{a} \): \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Нормализованный вектор: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{-4}{5}, \frac{-3}{5} \right) \] Теперь вычислим производную по направлению: \[ D_{\mathbf{u}} z = \nabla z \cdot \mathbf{u} = \left( \frac{17}{25}, 3 \right) \cdot \left( \frac{-4}{5}, \frac{-3}{5} \right) \] \[ = \frac{17}{25} \cdot \frac{-4}{5} + 3 \cdot \frac{-3}{5} = \frac{-68}{125} - \frac{9}{5} = \frac{-68}{125} - \frac{225}{125} = \frac{-293}{125} \] Таким образом, производная функции \( y \) по направлению вектора \( \mathbf{a} \) в точке \( (1, -1) \) равна: \[ D_{\mathbf{u}} z = \frac{-293}{125} \]