Давайте найдем производные каждой из указанных функций по порядку.
1. \( y = (2x - 1)(...
Для нахождения производной используем правило произведения:
\[
(uv) = uv + uv
\]
где \( u = 2x - 1 \) и \( v = 4x^3 + 3x^2 - x + 1 \).
Сначала найдем производные \( u \) и \( v \):
\[
u = 2
\]
\[
v = 12x^2 + 6x - 1
\]
Теперь подставим в формулу:
\[
y = uv + uv = 2(4x^3 + 3x^2 - x + 1) + (2x - 1)(12x^2 + 6x - 1)
\]
Теперь раскроем скобки и упростим:
\[
y = 8x^3 + 6x^2 - 2x + 2 + (2x - 1)(12x^2 + 6x - 1)
\]
\[
= 8x^3 + 6x^2 - 2x + 2 + (24x^3 + 12x^2 - 2x - 12x^2 - 6x + 1)
\]
\[
= 32x^3 + 2x^2 - 9x + 3
\]
Используем правило произведения:
\[
u = x + 7, \quad v = 2x - 3
\]
\[
u = 1, \quad v = 2
\]
\[
y = uv + uv = 1(2x - 3) + (x + 7)(2)
\]
\[
= 2x - 3 + 2x + 14 = 4x + 11
\]
Снова используем правило произведения:
\[
u = 4 - x, \quad v = x^3 - x^2 + 5x - 3
\]
\[
u = -1, \quad v = 3x^2 - 2x + 5
\]
\[
y = uv + uv = -1(x^3 - x^2 + 5x - 3) + (4 - x)(3x^2 - 2x + 5)
\]
\[
= -x^3 + x^2 - 5x + 3 + (12x^2 - 8x + 20 - 3x^3 + 2x^2 - 5x)
\]
\[
= -4x^3 + 13x^2 - 18x + 23
\]
Используем правило частного:
\[
y = \frac{(uv - uv)}{v^2}
\]
где \( u = x^3 + 3x \) и \( v = x^2 + 1 \).
\[
u = 3x^2 + 3, \quad v = 2x
\]
\[
y = \frac{(3x^2 + 3)(x^2 + 1) - (x^3 + 3x)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
\]
Упрощаем:
\[
= \frac{(3x^4 + 3x^2 + 3x^2 + 3) - (2x^4 + 6x^2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
= \frac{x^4 + 3}{(x^2 + 1)^2}
\]
Используем правило частного:
\[
y = \frac{(uv - uv)}{v^2}
\]
где \( u = 2x^2 - 3x + 1 \) и \( v = x + 1 \).
\[
u = 4x - 3, \quad v = 1
\]
\[
y = \frac{(4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x + 1)(1)}{(x + 1)^2}
\]
Упрощаем:
\[
= \frac{(4x^2 + 4x - 3x - 3) - (2x^2 - 3x + 1)}{(x + 1)^2}
\]
\[
= \frac{2x^2 + x - 4}{(x + 1)^2}
\]
Используем правило частного:
\[
y = \frac{(uv - uv)}{v^2}
\]
где \( u = x^3 \) и \( v = x + 2 \).
\[
u = 3x^2, \quad v = 1
\]
\[
y = \frac{(3x^2)(x + 2) - (x^3)(1)}{(x + 2)^2}
\]
Упрощаем:
\[
= \frac{(3x^3 + 6x^2 - x^3)}{(x + 2)^2}
\]
\[
= \frac{2x^3 + 6x^2}{(x + 2)^2}
\]
Таким образом, мы нашли производные всех указанных функций.
