Главная
Библиотека
Высшая математика
Найти решение системы дифференциальных уравнений: \\[ \\left\\{\\begin{array}{l}x_{1}^{\\prime}=x_{1}+4 x_{2}+1 \\ x_{2}^{...

Найти решение системы дифференциальных уравнений: \\[ \\left\\{\\begin{array}{l}x_{1}^{\\prime}=x_{1}+4 x_{2}+1 \\ x_{2}^{\\prime}=2 x_{1}+3 x_{2}\\end{array}, \\quad x_{1}(0)=0, x_{2}(0)=1\\right. \\]

«Найти решение системы дифференциальных уравнений: \\[ \\left\\{\\begin{array}{l}x_{1}^{\\prime}=x_{1}+4 x_{2}+1 \\ x_{2}^{\\prime}=2 x_{1}+3 x_{2}\\end{array}, \\quad x_{1}(0)=0, x_{2}(0)=1\\right. \\]»

18 ноября 2025
Высшая математика

Условие:

\( \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}=x_{1}+4 x_{2}+1 \\ x_{2}^{\prime}=2 x_{1}+3 x_{2}\end{array}, \quad x_{1}(0)=0, x_{2}(0)=1\right. \).

Решение:

Найдем общее решение системы дифференциальных уравнений x₁′ = x₁ + 4x₂ + 1 x₂′ = 2x₁ + 3x₂ с начальными условиями x₁(0) = 0, x₂(0) = 1. Шаг 1. Представим систему в виде X′ = A·X + b, где X = (x₁, x₂)ᵀ, A = [ [1, 4], [2, 3] ], b = (1, 0)ᵀ. Шаг 2. Найдем общее решение однородной системы X′ = A·X. Для этого определим собственные значения матрицы A, решив характеристическое уравнение det(A – λI) = 0. Вычисляем: det([[1–λ, 4], [2, 3–λ]]) = (1–λ)(3–λ) – 8 = (λ² – 4λ – 5) = 0. Решая уравнение λ² – 4λ – 5 = 0, получаем: λ = (4 ± √(16 + 20))⁄2 = (4 ± √36)⁄2 = (4 ± 6)⁄...