Найти с точностью до 0,01 значение функции. f(x,y) = x3 + y3 + a xy В точке ее локального экстремума, если a = 2,4

Чтобы найти значение функции $f(x,y) = x^3 + y^3 + axy$ в точке локального экстремума при ...

Сначала найдем частные производные функции $f$ по $x$ и $y$:

1. Частная производная по $x$:

   $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + ay$$

2. Частная производная по $y$:

   $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 + ax$$

Теперь приравняем частные производные к нулю для нахождения критических точек:

1. $3x^2 + 2.4y = 0$
2. $3y^2 + 2.4x = 0$

Из первого уравнения выразим $y$:

Подставим это значение во второе уравнение:

Умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от дроби:

Факторизуем:

Таким образом, $x = 0$ или $75x^3 + 38.4 = 0$.

Решим $75x^3 + 38.4 = 0$:

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

Таким образом, у нас есть две критические точки: $(0, 0)$ и $(-0.8, -0.8)$.

Теперь подставим найденные точки в функцию $f$:

1. Для точки $(0, 0)$:

   $$f(0, 0) = 0^3 + 0^3 + 2.4 \cdot 0 \cdot 0 = 0$$

2. Для точки $(-0.8, -0.8)$:

   $$f(-0.8, -0.8) = (-0.8)^3 + (-0.8)^3 + 2.4 \cdot (-0.8) \cdot (-0.8)$$
   $$= -0.512 - 0.512 + 2.4 \cdot 0.64$$
   $$= -1.024 + 1.536 = 0.512$$

Теперь сравним значения функции в критических точках:

• $f(0, 0) = 0$
• $f(-0.8, -0.8) \approx 0.512$

Таким образом, значение функции $f(x,y)$ в точке локального экстремума с точностью до 0,01 равно $0.51$.