Условие:
Найти сигнатуру квадратичной формы
q
(
x
)
q(x), если в стандартном базисе она задаётся формулой:
q
(
x
)
=
−
7
(
ξ
1
)
2
+
24
ξ
1
ξ
2
+
40
ξ
1
ξ
3
−
20
(
ξ
2
)
2
−
66
ξ
2
ξ
3
−
54
(
ξ
3
)
2
q(x)=−7(ξ
1
)
2
+24ξ
1
ξ
2
+40ξ
1
ξ
3
−20(ξ
2
)
2
−66ξ
2
ξ
3
−54(ξ
3
)
2
В качестве ответа введите пару чисел, первое из которых будет являться положительным индексом инерции квадратичной формы
q
q, а второе - отрицательным.
Решение:
Найдем сигнатуру квадратичной формы, то есть определим число положительных и отрицательных собственных значений. Для этого сначала запишем форму в виде xᵀAx, где x = (ξ₁, ξ₂, ξ₃)ᵀ, а матрица A получается следующим образом. Формула формы дана как q(x) = –7ξ₁² + 24ξ₁ξ₂ + 40ξ₁ξ₃ – 20ξ₂² – 66ξ₂ξ₃ – 54ξ₃². Так как запись в виде xᵀAx подразумевает, что для смешанных членов коэффициенты удваиваются (то есть q(x) = a₁₁ξ₁² + 2a₁₂ξ₁ξ₂ + ...), коэффициенты матрицы A получаются так: a₁₁ = –7, 2a₁₂ = 24 ⇒ a₁₂ = 12, 2a₁₃ = 40 ⇒ a₁₃ = 20, a₂₂ = –20, 2a₂₃ = –66 ⇒ a₂₃ = –33, a₃₃ = –54. Поскольк...