найти скалярное произведение бесконечных числовых последовательностей x и y в пространстве l2 x={1/2k}∞ k=1, y=(1/2,1/32,1/23,1/34,1/25,...)

Чтобы найти скалярное произведение бесконечных числовых последовательностей \( x \) и \( y \) в пространстве \( l^2 \), нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Определение последовательностей

Даны последовательности:
- \( x = \left\{ \frac{1}{2^k} \right\}_{k=1}^{\infty} \)
- \( y = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{3^4}, \frac{1}{2^5}, \ldots \right) \)

Шаг 2: Запись общего чле...

Посмотрим на последовательность \( y \). Она чередует элементы вида \( \frac{1}{2^n} \) и \( \frac{1}{3^n} \): - \( y_1 = \frac{1}{2} \) - \( y_2 = \frac{1}{3^2} \) - \( y_3 = \frac{1}{2^3} \) - \( y_4 = \frac{1}{3^4} \) - \( y_5 = \frac{1}{2^5} \) - и так далее. Таким образом, можно записать: - \( y_{2k-1} = \frac{1}{2^{k}} \) для нечетных индексов - \( y_{2k} = \frac{1}{3^{k}} \) для четных индексов Скалярное произведение двух последовательностей \( x \) и \( y \) в пространстве \( l^2 \) определяется как: \[ \langle x, y \rangle = \sumk \cdot y_k \] Теперь подставим значения \( xk \): \[ \langle x, y \rangle = \sumk \] Подставим значения \( y_k \): \[ \langle x, y \rangle = \sumk \right) \] Разделим сумму на четные и нечетные индексы: \[ \langle x, y \rangle = \sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k}} \cdot \frac{1}{3^k} \] 1. Для нечетных индексов: \[ \sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{3k-1}} = \frac{1/2^2}{1 - 1/8} = \frac{1/4}{7/8} = \frac{2}{7} \] 2. Для четных индексов: \[ \sum{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2^2 \cdot 3)^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{12^k} = \frac{1/12}{1 - 1/12} = \frac{1/12}{11/12} = \frac{1}{11} \] Теперь сложим результаты двух сумм: \[ \langle x, y \rangle = \frac{2}{7} + \frac{1}{11} \] Общий знаменатель для 7 и 11 равен 77: \[ \langle x, y \rangle = \frac{2 \cdot 11}{77} + \frac{1 \cdot 7}{77} = \frac{22 + 7}{77} = \frac{29}{77} \] Таким образом, скалярное произведение последовательностей \( x \) и \( y \) равно: \[ \langle x, y \rangle = \frac{29}{77} \]