найти уравнения образа и прообраза прямой l : 3 x + y − 7 = 0 l:3x+y−7=0 относительно преобразования подобия второго рода φ φ, которое переводит точки A ( − 2 ; 2 ) A(−2;2) и B ( 3 ; − 1 ) B(3;−1) в точки A ′ ( 15 ; 1 ) A ′ (15;1) и B ′ ( − 12 ; 12 ) B ′

1 октября 2025
Высшая математика

Условие:

найти уравнения образа и прообраза прямой
l
:
3
x
+
y
−
7
=
0
l:3x+y−7=0 относительно преобразования подобия второго рода
φ
φ, которое переводит точки
A
(
−
2
;
2
)
A(−2;2) и
B
(
3
;
−
1
)
B(3;−1) в точки
A
′
(
15
;
1
)
A
′
(15;1) и
B
′
(
−
12
;
12
)
B
′
(−12;12) соответственно.

Решение:

Для решения задачи найдем уравнения образа и прообраза прямой \( l: 3x + y - 7 = 0 \) относительно преобразования подоби...

Сначала найдем вектор преобразования \( \phi \). Для этого вычислим вектор \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AB} \). 1. Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-2), -1 - 2) = (5, -3) \). 2. Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A = (-12 - 15, 12 - 1) = (-27, 11) \). Теперь найдем коэффициенты подобия \( k \) и угол поворота \( \theta \). Для этого используем формулы: \[ k = \frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|} \] Сначала найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-27)^2 + 11^2} = \sqrt{729 + 121} = \sqrt{850} \] Теперь найдем \( k \): \[ k = \frac{\sqrt{850}}{\sqrt{34}} = \sqrt{\frac{850}{34}} = \sqrt{25} = 5 \] Теперь, зная коэффициент подобия \( k = 5 \), мы можем найти уравнение образа прямой \( l \). Прямая \( l \) имеет уравнение \( 3x + y - 7 = 0 \). Применим преобразование подобия, которое включает масштабирование и перенос. Поскольку мы знаем, что преобразование подобия второго рода сохраняет параллельность и пропорциональность, мы можем записать уравнение образа прямой \( l \): \[ l: 3kx + ky - 7k = 0 \] Подставим \( k = 5 \): \[ l: 3 \cdot 5x + 5y - 7 \cdot 5 = 0 \] \[ l: 15x + 5y - 35 = 0 \] Теперь найдем прообраз прямой \( l \). Для этого используем обратное преобразование, которое будет делить все коэффициенты на \( k \): \[ l: \frac{3}{k}x + \frac{1}{k}y - \frac{7}{k} = 0 \] Подставим \( k = 5 \): \[ l: \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}y - \frac{7}{5} = 0 \] Умножим на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ l: 3x + y - 7 = 0 \] Таким образом, уравнение образа прямой \( l \) относительно преобразования подобия второго рода: \[ l: 15x + 5y - 35 = 0 \] Уравнение прообраза прямой \( l \): \[ l: 3x + y - 7 = 0 \]