Найти все частные производные второго порядка заданнойфункции двух переменных, доказав при этом равенство смешанных производных u=y2ln(2x+4y)

Чтобы найти все частные производные второго порядка функции \( u = y^2 \ln(2x + 4y) \), начнем с нахождения первых частных производных.

Шаг 1: Найдем первые ...

1. : \[ u_x = \frac{\partial}{\partial x}(y^2 \ln(2x + 4y)) \] Используем правило производной произведения и цепное правило: \[ u_x = y^2 \cdot \frac{1}{2x + 4y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x + 4y) = y^2 \cdot \frac{1}{2x + 4y} \cdot 2 = \frac{2y^2}{2x + 4y} \] 2. : \[ u_y = \frac{\partial}{\partial y}(y^2 \ln(2x + 4y)) \] Сначала найдем производную от \( y^2 \) и затем от \( \ln(2x + 4y) \): \[ u_y = 2y \ln(2x + 4y) + y^2 \cdot \frac{1}{2x + 4y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x + 4y) = 2y \ln(2x + 4y) + y^2 \cdot \frac{1}{2x + 4y} \cdot 4 \] \[ u_y = 2y \ln(2x + 4y) + \frac{4y^2}{2x + 4y} \] 1. : \[ u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2y^2}{2x + 4y}\right) \] Применим правило частного: \[ u_{xx} = \frac{(0)(2x + 4y) - 2y^2 \cdot 2}{(2x + 4y)^2} = \frac{-4y^2}{(2x + 4y)^2} \] 2. : \[ u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(2y \ln(2x + 4y) + \frac{4y^2}{2x + 4y}\right) \] Разделим на две части: - Первая часть: \[ \frac{\partial}{\partial y}(2y \ln(2x + 4y)) = 2 \ln(2x + 4y) + 2y \cdot \frac{4}{2x + 4y} = 2 \ln(2x + 4y) + \frac{8y}{2x + 4y} \] - Вторая часть: \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{4y^2}{2x + 4y}\right) = \frac{(8y)(2x + 4y) - 4y^2 \cdot 4}{(2x + 4y)^2} = \frac{16xy + 32y^2 - 16y^2}{(2x + 4y)^2} = \frac{16xy + 16y^2}{(2x + 4y)^2} \] Объединим обе части: \[ u_{yy} = 2 \ln(2x + 4y) + \frac{8y}{2x + 4y} + \frac{16xy + 16y^2}{(2x + 4y)^2} \] 3. : \[ u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2y^2}{2x + 4y}\right) \] Применим правило частного: \[ u_{xy} = \frac{(4y)(2x + 4y) - 2y^2 \cdot 4}{(2x + 4y)^2} = \frac{8xy + 16y^2 - 8y^2}{(2x + 4y)^2} = \frac{8xy + 8y^2}{(2x + 4y)^2} \] 4. : \[ u_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2y \ln(2x + 4y) + \frac{4y^2}{2x + 4y}\right) \] Первая часть: \[ \frac{\partial}{\partial x}(2y \ln(2x + 4y)) = 2y \cdot \frac{2}{2x + 4y} = \frac{4y}{2x + 4y} \] Вторая часть: \[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{4y^2}{2x + 4y}\right) = \frac{0 \cdot (2x + 4y) - 4y^2 \cdot 2}{(2x + 4y)^2} = \frac{-8y^2}{(2x + 4y)^2} \] Объединим: \[ u_{yx} = \frac{4y}{2x + 4y} - \frac{8y^2}{(2x + 4y)^2} \] Теперь сравним \( u{yx} \): \[ u_{xy} = \frac{8xy + 8y^2}{(2x + 4y)^2} \] \[ u_{yx} = \frac{4y(2x + 4y) - 8y^2}{(2x + 4y)^2} = \frac{8xy + 16y^2 - 8y^2}{(2x + 4y)^2} = \frac{8xy + 8y^2}{(2x + 4y)^2} \] Таким образом, \( u{yx} \), что доказывает равенство смешанных производных. Все частные производные второго порядка: - \( u_{xx} = \frac{-4y^2}{(2x + 4y)^2} \) - \( u_{yy} = 2 \ln(2x + 4y) + \frac{8y}{2x + 4y} + \frac{16xy + 16y^2}{(2x + 4y)^2} \) - \( u{yx} = \frac{8xy + 8y^2}{(2x + 4y)^2} \) Равенство смешанных производных доказано.