Найти хотя бы одну такую пару натуральных чисел , где простое число и , что в мультипликативной группе поля имеется элемент порядка . Найти минимальный многочлен этого элемента. N = 32

Мы покажем, что, например, если взять p = 7 (простое число, и 7 ≤ 11) и n = 4, то в конечном поле 𝔽₇₄ име­ется элемент порядка 32, и найдётся его неприводимый (минимальный) многочлен над 𝔽₇.

Ниже пошагово рассказывается рассуждение.

─────────────────────────────

1. Выбор поля
   
   Обратите внимание, что мультипликативная группа конечного поля 𝔽₍ₚⁿ₎ – циклическая и имеет порядок
     |𝔽₍ₚⁿ₎*| = pⁿ –
   
2. 
   

Нужно, чтобы в этой группе существовал элемент порядка N = 32, т.е. чтобы 32 делило pⁿ –
1.

Заметим, что если p = 2, то 2ⁿ – 1 нечётно, и делитель 32 (2⁵) не может встретиться. Поэтому ищем среди нечётных простых p, причём по условию p ≤
11.

Выберем p = 7. Тогда нам нужно, чтобы 32 делило 7ⁿ –

При n = 4 получаем 7⁴ – 1 = 2401 – 1 = 2400.
Разложим 2400 на простые множители:
  2400 = 2⁵ · 3 · 5².
Таким образом, 2⁵ = 32 действительно делит 2400. Значит в 𝔽₇₄ существует элемент порядка
32.

─────────────────────────────
2. Поиск элемента порядка 32

Так как 𝔽₇₄*...