Найти значение лараметра , при котором векторное поле является потенциальным. Найти потенциал поля и вычислить линейный интеграл от вдоль произвольной кривой, соединяющей точки и .

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти значение лараметра , при котором векторное поле является потенциальным. Найти потенциал поля и вычислить линейный интеграл от вдоль произвольной кривой, соединяющей точки и .

Условие:

Найти значение лараметра $C$ , при котором векторное поле $\vec{F}(x, y, z)=z^{3} \vec{i}-3 z^{3} \vec{j}+C y z^{2} \vec{k}$ является потенциальным. Найти потенциал поля и вычислить линейный интеграл от $\vec{F}(x, y, z)$ вдоль произвольной кривой, соединяющей точки $A(2 ;-1 ; 1)$ и $B(1 ; 1 ; 2)$ .

Решение:

Наша задача состоит из двух частей. Сначала нужно найти такой параметр C, при котором векторное поле

F(x, y, z) = z³ i – 3z³ j + C y z² k

является потенциальным (то есть существует такая функция U(x,y,z), что ∇U = F). Затем, если поле потенциально, найти потенциал и вычислить линейный интеграл по произвольной кривой между точками A(2; –1; 1) и B(1; 1; 2).

Чтобы F было градиентом некоторой функции U, необходимо и достаточно, чтобы его ротор (curl F) был равен нулю (при условии, что область определения – просто связная).

Пошагово рассмотри...