Разбор задачи

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .

Условие:

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности $z^{3}=\left(y \cdot x^{4}-5 \cdot y^{3}-3 \cdot z\right)^{2}$ в точке $M_{0}(-2 ; 1 ; 0)$ .

Поверхность задана неявно уравнением:

\nF(x, y, z) = z^{3} - \left(y x^{4} - 5 y^{3} - 3 z\right)^{2} = 0

Точка, в которой ищется касательная плоскость: $M_{0}(-2, 1, 0)$ .

Сначала убедимся, что точка $M_0(-2, 1, 0)$ лежит на поверхности. Подставим координаты в уравнение:

0^3 - \left(1 \cdot (-2)^{4} - 5 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 0\right)^{2} = 0 - (16 - 5 - 0)^2 = -11^2 = -121

Внимание: При подстановке координат точки

M_0(-2, 1, 0)

в левую часть уравнения

z^{3} - \left(y x^{4} - 5 y^{3} - 3 z\right)^{2}

, мы получаем

-121

, а н...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для точки, чтобы к ней можно было построить касательную плоскость к заданной поверхности?

Точка должна быть центром симметрии поверхности.

Координаты точки должны удовлетворять уравнению поверхности.

Точка должна быть изолированной особой точкой поверхности.