Условие:
137.напишите уравнение прямой с расстоянием до точки А(4;-2) равным 4 и параллельным прямой 8x-15у=0.
Решение:
Чтобы найти уравнение прямой, параллельной данной прямой \(8x - 15y = 0\) и находящейся на расстоянии 4 от точки \(A(4, -2)\), следуем следующим...
Уравнение прямой \(8x - 15y = 0\) можно привести к форме \(y = kx + b\), где \(k\) — угловой коэффициент. Перепишем уравнение: \[ 15y = 8x \implies y = \frac{8}{15}x \] Таким образом, угловой коэффициент \(k = \frac{8}{15}\). Прямая, параллельная данной, будет иметь тот же угловой коэффициент. Общее уравнение прямой можно записать в виде: \[ y = \frac{8}{15}x + b \] где \(b\) — свободный член, который нам нужно определить. Расстояние \(d\) от точки \(A(x0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\) вычисляется по формуле: \[ d = \frac{|Ax0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Для нашей прямой \(y = \frac{8}{15}x + b\) можно привести к форме \(Ax + By + C = 0\): \[ -\frac{8}{15}x + y - b = 0 \implies A = -\frac{8}{15}, B = 1, C = -b \] Теперь подставим координаты точки \(A(4, -2)\) и расстояние \(d = 4\): \[ 4 = \frac{\left| -\frac{8}{15} \cdot 4 + 1 \cdot (-2) - b \right|}{\sqrt{\left(-\frac{8}{15}\right)^2 + 1^2}} \] Сначала найдем \(A^2 + B^2\): \[ \left(-\frac{8}{15}\right)^2 + 1^2 = \frac{64}{225} + 1 = \frac{64}{225} + \frac{225}{225} = \frac{289}{225} \] Следовательно, \(\sqrt{A^2 + B^2} = \frac{17}{15}\). Теперь подставим это в формулу: \[ 4 = \frac{\left| -\frac{32}{15} - 2 - b \right|}{\frac{17}{15}} \] Умножим обе стороны на \(\frac{17}{15}\): \[ 4 \cdot \frac{17}{15} = \left| -\frac{32}{15} - 2 - b \right| \] Упрощаем левую часть: \[ \frac{68}{15} = \left| -\frac{32}{15} - 2 - b \right| \] Переведем 2 в дробь: \[ 2 = \frac{30}{15} \implies -\frac{32}{15} - \frac{30}{15} - b = -\frac{62}{15} - b \] Теперь у нас есть: \[ \frac{68}{15} = \left| -\frac{62}{15} - b \right| \] Это дает два случая: 1. \(-\frac{62}{15} - b = \frac{68}{15}\) 2. \(-\frac{62}{15} - b = -\frac{68}{15}\) \[ -b = \frac{68}{15} + \frac{62}{15} \implies -b = \frac{130}{15} \implies b = -\frac{130}{15} \] \[ -b = -\frac{68}{15} + \frac{62}{15} \implies -b = -\frac{6}{15} \implies b = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \] Теперь у нас есть два значения для \(b\): 1. \(b = -\frac{130}{15}\) 2. \(b = \frac{2}{5}\) Таким образом, уравнения прямых: 1. \(y = \frac{8}{15}x - \frac{130}{15}\) 2. \(y = \frac{8}{15}x + \frac{2}{5}\) Уравнения прямых, параллельных \(8x - 15y = 0\) и находящихся на расстоянии 4 от точки \(A(4, -2)\): 1. \(y = \frac{8}{15}x - \frac{130}{15}\) 2. \(y = \frac{8}{15}x + \frac{2}{5}\)