Образующая усеченного конуса равна 15 см, боковая поверхность его равна 405π см³. Высота усеченного конуса в два раза меньше высоты соответствующего полного конуса. Вычислить объем усеченного конуса.

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Аналитическая геометрия
#Геометрические преобразования

Условие:

Образующая усеченного конуса равна 15 см, боковая поверхность его равна 405π см³. Высота усеченного конуса в два раза меньше высоты соответствующего полного конуса. Вычислить объем усеченного конуса.

Решение:

Данные задачи:
- Образующая усеченного конуса (l) = 15 см
- Боковая поверхность усеченного конуса (Sб) = 405 см²
- Высота усеченного конуса (h) в два раза меньше высоты полного конуса (H).
Формула боковой поверхности усеченного конуса: Боковая поверхность усеченного конуса вычисляется по формуле:
$S_{б} = \pi (R + r) l$
где $R$ и $r$ — радиусы оснований усеченного конуса, а $l$ — образующая.
Подставим известные значения:
$405 = \pi (R + r) \cdot 15$
Разделим обе стороны на $15\pi$ :
$R + r = \frac{405}{15\pi} = \frac{27}{\pi}$
Высота полного конуса: Обозначим высоту усеченного конуса как $h$ , тогда высота полного конуса $H = 2h$ .
Формула объема усеченного конуса: Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
...