One throws an unbiased die twice and counts and dots, respectively. Calculate the covariance of and . Calculate the covariance of and . Are and independent? Is equal to ?

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

One throws an unbiased die twice and counts and dots, respectively. Calculate the covariance of and . Calculate the covariance of and . Are and independent? Is equal to ?

Условие:

One throws an unbiased die twice and counts $X$ and $Y$ dots, respectively.\na Calculate the covariance of $X$ and $X+Y$ .\nb Calculate the covariance of $X-Y$ and $X+Y$ .\nc Are $X-Y$ and $X+Y$ independent?\nd Is $\operatorname{Var}(X+Y)$ equal to $\operatorname{Var}(2 X)$ ?

Решение:

Случайные величины:
- $X$ и $Y$ — это количество точек, выпавших на двух бросках честного кубика.
- Ожидаемое значение $E[X]$ и $E[Y]$ можно найти, так как они одинаковы для честного кубика.
Ожидаемое значение:
$E[X] = E[Y] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$
Дисперсия: Дисперсия для одного броска кубика:
$\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
Сначала найдем $E[X^2]$ :
$E[X^2] = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$
...