Оператор задан своей матрицей в паре базисов и , являющихся базисами пространств области определения области значения оператора соответственно. Найти матрицу этого оператора в паре базисов и , если

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Оператор задан своей матрицей в паре базисов и , являющихся базисами пространств области определения области значения оператора соответственно. Найти матрицу этого оператора в паре базисов и , если

Условие:

Оператор $\varphi \in \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{2}\right)$ задан своей матрицей $A_{\varphi}$ в паре базисов $\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{2}$ и $\left\{h_{i}\right\}_{i=1}^{2}$ , являющихся базисами пространств области определения области значения оператора соответственно.

Найти матрицу этого оператора $\tilde{A}_{\varphi}$ в паре базисов $\left\{\tilde{e}_{i}\right\}_{i=1}^{2}$ и $\left\{\tilde{h}_{i}\right\}_{i=1}^{2}$ , если

\begin{array}{c}\nA_{\varphi}=\left( \begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \\ e_{1}=\binom{1}{2}, \quad e_{2}=\binom{1}{3} \\ h_{1}=\binom{1}{-1}, \quad h_{2}=\binom{1}{0} \\ \tilde{e}_{1}=\binom{-1}{2}, \quad \tilde{e}_{2}=\binom{-1}{1} \\ \tilde{h}_{1}=\binom{1}{1}, \quad \tilde{h}_{2}=\binom{-1}{0} \end{array}

Решение:

Чтобы найти матрицу оператора $\tilde{A}_{\varphi}$ в новых базисах $\left\{\tilde{e}_{i}\right\}_{i=1}^{2}$ и $\left\{\tilde{h}_{i}\right\}_{i=1}^{2}$ , нам нужно воспользоваться формулой изменения базиса для матрицы линейного оператора.

Сначала найдем матрицы перехода.

Обозначим матрицы перехода от базиса $\left\{e_{i}\right\}$ к базису $\left\{\tilde{e}_{i}\right\}$ и от базиса $\left\{h_{i}\right\}$ к базису $\left\{\tilde{h}_{i}\right\}$ .

Матрица перехода от базиса $\left\{e_{i}\right\}$ к базису $\left\{\tilde{e}_{i}\right\}$ будет обозн...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для нахождения матрицы линейного оператора в новых базисах, если известна его матрица в старых базисах и матрицы перехода между базисами?