Условие:
Определи косинус < L треугольника ALM, если даны координаты вершин треугольника:
A (3; 4; 4);
L(1;2; 3);
M(-1; 1;5)
Решение:
Чтобы найти косинус угла \( \angle L \) треугольника \( ALM \), нам нужно использовать векторы \( \overrightarrow{AL} \) и \( \overright...
Вектор \( \overrightarrow{AL} \) можно найти, вычитая координаты точки \( A \) из координат точки \( L \): \[ \overrightarrow{AL} = L - A = (1 - 3, 2 - 4, 3 - 4) = (-2, -2, -1) \] Вектор \( \overrightarrow{LM} \) можно найти аналогично: \[ \overrightarrow{LM} = M - L = (-1 - 1, 1 - 2, 5 - 3) = (-2, -1, 2) \] Длина вектора \( \overrightarrow{AL} \): \[ |\overrightarrow{AL}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Длина вектора \( \overrightarrow{LM} \): \[ |\overrightarrow{LM}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AL} \) и \( \overrightarrow{LM} \): \[ \overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{LM} = (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 4 + 2 - 2 = 4 \] Косинус угла между векторами можно найти по формуле: \[ \cos \angle L = \frac{\overrightarrow{AL} \cdot \overrightarrow{LM}}{|\overrightarrow{AL}| \cdot |\overrightarrow{LM}|} \] Подставим найденные значения: \[ \cos \angle L = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} \] Косинус угла \( \angle L \) треугольника \( ALM \) равен \( \frac{4}{9} \).