3. Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' - 4y' + 5y = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(0) = 0, y'(0) = 1

Чтобы найти частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами \( y - 4y + 5y = 0 \), следуем следующим шагам:

Шаг ...

Для уравнения \( y - 4y + 5y = 0 \) характеристическое уравнение имеет вид: \[ r^2 - 4r + 5 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 5 \). Подставим значения: \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} \] \[ r = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \] Общее решение уравнения будет иметь вид: \[ y(t) = e^{\alpha t} (C2 \sin(\beta t)) \] где \( \alpha = 2 \) и \( \beta = 1 \). Таким образом, общее решение: \[ y(t) = e^{2t} (C2 \sin(t)) \] Теперь применим начальные условия \( y(0) = 0 \) и \( y(0) = 1 \). 1. \( y(0) = 0 \): \[ y(0) = e^{2 \cdot 0} (C2 \sin(0)) = C2 \cdot 0 = C_1 \] Следовательно, \( C_1 = 0 \). 2. \( y(0) = 1 \): Сначала найдем производную \( y(t) \): \[ y(t) = \frac{d}{dt} \left( e^{2t} (C2 \sin(t)) \right) \] Используем правило произведения: \[ y(t) = e^{2t} \cdot 2(C2 \sin(t)) + e^{2t} \cdot (-C2 \cos(t)) \] \[ = e^{2t} \left( 2C2 \sin(t) - C2 \cos(t) \right) \] \[ = e^{2t} \left( (2C2) \cos(t) + (2C1) \sin(t) \right) \] Теперь подставим \( t = 0 \): \[ y(0) = e^{2 \cdot 0} \left( (2C2) \cdot 1 + (2C1) \cdot 0 \right) = 2C2 \] Поскольку \( C_1 = 0 \), получаем: \[ y(0) = C_2 = 1 \] Таким образом, \( C_2 = 1 \) и общее решение с учетом начальных условий: \[ y(t) = e^{2t} (0 \cdot \cos(t) + 1 \cdot \sin(t)) = e^{2t} \sin(t) \] Частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями: \[ y(t) = e^{2t} \sin(t) \]