Определить промежутки монотонности в строгом смысле (возрастания и убывания) функции y=x2/2x

Чтобы определить промежутки монотонности функции \( y = \frac{x^2}{2^x} \), нам нужно найти производную этой фу...

Функция имеет вид \( y = \frac{x^2}{2^x} \). Мы можем использовать правило деления для нахождения производной: \[ y = \frac{(uv - uv)}{v^2} \] где \( u = x^2 \) и \( v = 2^x \). Сначала найдем производные \( u \) и \( v \): 1. \( u = 2x \) 2. \( v = 2^x \) и \( v = 2^x \ln(2) \) Теперь подставим в формулу: \[ y = \frac{(2x \cdot 2^x - x^2 \cdot 2^x \ln(2))}{(2^x)^2} \] Упростим: \[ y = \frac{2^x (2x - x^2 \ln(2))}{4^x} = \frac{2x - x^2 \ln(2)}{2^x} \] Теперь найдем, где производная равна нулю: \[ 2x - x^2 \ln(2) = 0 \] Вынесем \( x \): \[ x(2 - x \ln(2)) = 0 \] Это уравнение имеет два решения: 1. \( x = 0 \) 2. \( 2 - x \ln(2) = 0 \) или \( x = \frac{2}{\ln(2)} \) Теперь нам нужно исследовать знак производной \( y \) на промежутках, определяемых критическими точками \( x = 0 \) и \( x = \frac{2}{\ln(2)} \). Рассмотрим промежутки: 1. \( (-\infty, 0) \) 2. \( (0, \frac{2}{\ln(2)}) \) 3. \( (\frac{2}{\ln(2)}, +\infty) \) Выберем точку \( x = -1 \): \[ y(-1) = 2(-1) - (-1)^2 \ln(2) = -2 - \ln(2) 0 \] Знак производной отрицательный, значит функция убывает. Выберем точку \( x = 1 \): \[ y(1) = 2(1) - (1)^2 \ln(2) = 2 - \ln(2) \] Поскольку \( \ln(2) \approx 0.693 \), то \( 2 - \ln(2) 0 \). Знак производной положительный, значит функция возрастает. Выберем точку \( x = 3 \): \[ y(3) = 2(3) - (3)^2 \ln(2) = 6 - 9 \ln(2) \] Поскольку \( 9 \ln(2) \approx 6.237 \), то \( 6 - 9 \ln(2) 0 \). Знак производной отрицательный, значит функция убывает. Таким образом, мы получили следующие промежутки монотонности: - Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \). - Функция возрастает на промежутке \( (0, \frac{2}{\ln(2)}) \). - Функция убывает на промежутке \( (\frac{2}{\ln(2)}, +\infty) \). Ответ: - Убывание: \( (-\infty, 0) \) и \( (\frac{2}{\ln(2)}, +\infty) \) - Возрастание: \( (0, \frac{2}{\ln(2)}) \)