Условие:
Определите, сходится или расходится следующий бесконечный ряд. Обоснуйте свой ответ, четко указав используемый(ые) тест(ы) на сходимость и показав все соответствующие шаги.
Пример ряда:
∑_(n=1)^∞ (((4n + 5)/(2n + 3))^(2*n))
Решение:
Для определения сходимости ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n + 5}{2n + 3} \right)^{2n} \] мы будем использовать тест на сходимость, известный ...
Обозначим \[ a_n = \left( \frac{4n + 5}{2n + 3} \right)^{2n}. \] Теперь вычислим \[ \frac{an} = \frac{\left( \frac{4(n+1) + 5}{2(n+1) + 3} \right)^{2(n+1)}}{\left( \frac{4n + 5}{2n + 3} \right)^{2n}}. \] Упростим это выражение: \[ a_{n+1} = \left( \frac{4(n+1) + 5}{2(n+1) + 3} \right)^{2(n+1)} = \left( \frac{4n + 4 + 5}{2n + 2 + 3} \right)^{2(n+1)} = \left( \frac{4n + 9}{2n + 5} \right)^{2(n+1)}. \] Теперь подставим это в отношение: \[ \frac{an} = \frac{\left( \frac{4n + 9}{2n + 5} \right)^{2(n+1)}}{\left( \frac{4n + 5}{2n + 3} \right)^{2n}} = \left( \frac{4n + 9}{2n + 5} \right)^{2(n+1)} \cdot \left( \frac{2n + 3}{4n + 5} \right)^{2n}. \] Теперь упростим это выражение. Мы можем записать его как: \[ \frac{an} = \left( \frac{4n + 9}{2n + 5} \right)^{2(n+1)} \cdot \left( \frac{2n + 3}{4n + 5} \right)^{2n}. \] Теперь найдем предел: \[ \lim{n+1}}{a_n}. \] Для этого рассмотрим предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{4n + 9}{2n + 5} \cdot \frac{2n + 3}{4n + 5} \right)^{2n}. \] При \( n \to \infty \): \[ \frac{4n + 9}{2n + 5} \to 2 \quad \text{и} \quad \frac{2n + 3}{4n + 5} \to \frac{1}{2}. \] Таким образом, \[ \lim{n+1}}{a{n \to \infty} \left( 2 \cdot \frac{1}{2} \right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} 1^{2n} = 1. \] Так как предел равен 1, тест Даламбера не дает нам информации о сходимости. Поэтому мы должны использовать другой тест. Рассмотрим, что \[ \frac{4n + 5}{2n + 3} \sim 2 \quad \text{при} \quad n \to \infty. \] Следовательно, \[ \left( \frac{4n + 5}{2n + 3} \right)^{2n} \sim 2^{2n} = 4^n. \] Ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} 4^n \] является расходящимся (это геометрический ряд с \( r = 4 1 \)). Поскольку \[ \left( \frac{4n + 5}{2n + 3} \right)^{2n} \sim 4^n \] и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} 4^n \) расходится, то по тесту сравнения наш ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n + 5}{2n + 3} \right)^{2n} \] также расходится. Таким образом, ряд расходится.