Определите внешний дифференциал внешней дифференциальной формы и сформулируйте его основные свойства. Сформулируйте формулу Стокса для внешних дифференциальных форм. Докажите формулу Стокса в кубе.

Ниже приведён подробный ответ с поэтапным обоснованием. ────────────────────────────── 1. Определение внешнего дифференциала Пусть ω – k‑форма на многообразии M, локально записываемая в виде   ω = Σ₍I₎ f_I dxᵢ₁ ∧ dxᵢ₂ ∧ … ∧ dxᵢₖ, где I = (i₁, i₂, …, iₖ) – упорядоченные индексы, а f_I – гладкие функции. Тогда внешний дифференциал dω – (k+1)-форма определяется по правилу   dω = Σ₍I₎ df_I ∧ dxᵢ₁ ∧ … ∧ dxᵢₖ, где df_I – обычный дифференциал функции f_I. ────────────────────────────── 2. Основные свойства внешнего дифференциала Внешний дифференциал обладает следующими ключевыми свойствами: ...