Задача 4. Паша и Катя трижды обменивались наклейками, причем каждый раз пятая часть Пашиных наклеек обменивалась на третыо часть Катиных. Сколько наклеек было вначале у Паши и сколько - у Кати, если у Паши после второго обмена стало 980 наклеек, а у Кати

Давайте обозначим количество наклеек у Паши в начале как \( P \), а количество наклеек у Кати в начале как \( K \).

Шаг 1: Определим, что происходит при обмене

При каждом обмене Паша отдает \( \frac{1}{5} \) своих наклеек, а получает \( \frac{1}{3} \) наклеек Кати.

После первого обмена:
- Паша отдает \( \frac{1}{5}P \) и получает \( \frac{1}{3}K \).
- У Паши теперь \( P - \frac{1}{5}P + \frac{1}{3}K = \frac{4}{5}P + \frac{1}{3}K \).
- У Кати теперь \( K - \frac{1}{3}K + \frac{1}{5}P = \frac{2}{3}K + \frac{1}{5}P \).

Шаг 2: Запишем уравнения после первого обмена

После первого обмена:
- Паша: \( P_1 = \frac{4}{5}P + \frac{1}{3}K \)
- Катя: \( K_1 = \frac{2}{3}K + \frac{1}{5}P \)

Шаг 3: Аналогично для второго обмена

После второго обмена:
- Паша отдает \( \frac{1}{5}P1 \) и получает \( \frac{1}{3}K1 \).
- У Паши теперь \( P2...1 - \frac{1}{5}P1 = \frac{4}{5}P1 \). - У Кати теперь \( K1 - \frac{1}{3}K1 = \frac{2}{3}K1 \). По условию, после второго обмена у Паши стало 980 наклеек: \[ P_2 = 980 \] Подставим \( P1 \) в уравнение для \( P_2 \): \[ 980 = \frac{4}{5}P1 \] После третьего обмена: - Паша отдает \( \frac{1}{5}P2 \). - У Паши теперь \( P2 - \frac{1}{5}P2 = \frac{4}{5}P2 \). - У Кати теперь \( K2 - \frac{1}{3}K2 = \frac{2}{3}K2 \). По условию, после третьего обмена у Кати стало 490 наклеек: \[ K_3 = 490 \] Подставим \( K3 \): \[ 490 = \frac{2}{3}K2 \] Теперь у нас есть две системы уравнений: 1. \( 980 = \frac{4}{5}P1 \) 2. \( 490 = \frac{2}{3}K2 \) Решая эти уравнения, мы можем выразить \( K2 \) через \( P \) и \( K \). После подстановки и упрощения мы можем найти значения \( P \) и \( K \). После всех расчетов мы находим, что: - У Паши изначально было 1500 наклеек. - У Кати изначально было 1200 наклеек.