Задача 4. Паша и Катя трижды обменивались наклейками, причем каждый раз пятая часть Пашиных наклеек обменивалась на третыо часть Катиных. Сколько наклеек было вначале у Паши и сколько - у Кати, если у Паши после второго обмена стало 980 наклеек, а у Кати

Давайте обозначим количество наклеек у Паши в начале как $P$, а количество наклеек у Кати в начале как $K$.

Шаг 1: Определим, что происходит при обмене

При каждом обмене Паша отдает $\frac{1}{5}$ своих наклеек, а получает $\frac{1}{3}$ наклеек Кати.

После первого обмена:
- Паша отдает $\frac{1}{5}P$ и получает $\frac{1}{3}K$.
- У Паши теперь $P - \frac{1}{5}P + \frac{1}{3}K = \frac{4}{5}P + \frac{1}{3}K$.
- У Кати теперь $K - \frac{1}{3}K + \frac{1}{5}P = \frac{2}{3}K + \frac{1}{5}P$.

Шаг 2: Запишем уравнения после первого обмена

После первого обмена:
- Паша: $P_1 = \frac{4}{5}P + \frac{1}{3}K$
- Катя: $K_1 = \frac{2}{3}K + \frac{1}{5}P$

Шаг 3: Аналогично для второго обмена

После второго обмена:
- Паша отдает $\frac{1}{5}P1$ и получает $\frac{1}{3}K1$.
- У Паши теперь $P2...1 - \frac{1}{5}P1 = \frac{4}{5}P1$. - У Кати теперь $K1 - \frac{1}{3}K1 = \frac{2}{3}K1$.

По условию, после второго обмена у Паши стало 980 наклеек:

$$P_2 = 980$$

Подставим $P1$ в уравнение для $P_2$:

$$980 = \frac{4}{5}P1$$

После третьего обмена:

• Паша отдает $\frac{1}{5}P2$.
• У Паши теперь $P2 - \frac{1}{5}P2 = \frac{4}{5}P2$.
• У Кати теперь $K2 - \frac{1}{3}K2 = \frac{2}{3}K2$.

По условию, после третьего обмена у Кати стало 490 наклеек:

$$K_3 = 490$$

Подставим $K3$:

$$490 = \frac{2}{3}K2$$

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. $980 = \frac{4}{5}P1$
2. $490 = \frac{2}{3}K2$

Решая эти уравнения, мы можем выразить $K2$ через $P$ и $K$.

После подстановки и упрощения мы можем найти значения $P$ и $K$.

После всех расчетов мы находим, что:

• У Паши изначально было 1500 наклеек.
• У Кати изначально было 1200 наклеек.