Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория меры и интеграла

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:

Условие:

Перейти к полярным координатам $r, \varphi$ и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах: $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} f(x, y) d y$

Решение:

1. Дано

Нам дан двойной интеграл в декартовых координатах $(x, y)$ :

I = \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} f(x, y) dy

Область интегрирования

D

задана условиями:

0 \le x \le 1 \quad \text{и} \quad 0 \le y \le 1

Эта область представляет собой квадрат в первой четверти плоскости

xy

2. Найти

Необходимо перейти к полярным координатам $(r, \varphi)$ и найти новые пределы интегрирования.

3. Решение

Шаг 1: Связь между декартовыми и полярными координатами

Переход к полярным координатам осуществляется по формулам:

x = r \cos \varphi

y = r \sin \varphi

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При переходе от декартовых координат к полярным в двойном интеграле, какой множитель появляется в подынтегральном выражении при замене $dx dy$ на $dr d\varphi$?

$r^2$

$r$

$1$