По заданному графику оригинал найти изображение \[ (t)= \{ {array}{l} 0, t

Добавлена: 19.05.2026
Обновлена: 19.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

$По заданному графику оригинал найти изображение \[ (t)= \{ {array}{l} 0, t$

Условие:

По заданному графику оригинал найти изображение $f(t)$ $ f(t)=\left{

\begin{array}{l} 0, t<a \ \frac{1}{a} t-1, a<t<2 a \ \-\frac{1}{a}+3,2 a<t<3 a \ \0, t>3 a \end{array}

Решение:

1. Дано

Задана кусочно-заданная функция $f(t)$ : $\nf(t)=\left{

\begin{array}{l} 0, t<a \\ \frac{1}{a} t-1, a<t<2 a \\ -\frac{1}{a}+3,2 a<t<3 a \\ 0, t>3 a \end{array}

$ где $a$ — положительный параметр.

2. Найти

Найти изображение функции $f(t)$ , то есть $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$ .

3. Решение

Преобразование Лапласа определяется интегралом:

\nF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt

Поскольку функция $f(t)$ задана по интервалам, мы разобьем интеграл на сумму интегралов по этим интервалам, учитывая, что функция равна нулю вне интервала $(a, 3a)$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство преобразования Лапласа наиболее эффективно для нахождения изображения кусочно-заданной функции, выраженной через единичные ступенчатые функции?

Свойство линейности.

Свойство запаздывания (сдвига по времени).

Свойство дифференцирования оригинала.