Показать что функция Удовлетворяет уравнению

Для того чтобы показать, что функция $z = y e^{x^{2} - y^{2}}$ удовлетворяет уравнению

нам нужно сначала найти частные производные $z_{x}$ и $z_{y}$.

1. Найдем частную производную $z_{x}$:

   Функция $z$ зависит от $x$ и $y$. Используем правило дифференцирования произведения и цепное правило:

   $$z = y e^{x^{2} - y^{2}}.$$

   Применяем производную:

   $$z_{x} = y \frac{d}{dx}(e^{x^{2} - y^{2}}) = y e^{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^{2} - y^{2}) = y e^{x^{2} - y^{2}} \cdot 2x.$$

   Таким образом, получаем:

   $$z_{x} = 2xy e^{x^{2} - y^{2}}.$$