Показать, что, какова бы ни была дифференцируемая функция , из соотношения следует

Добавлена: 07.05.2026
Обновлена: 07.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Показать, что, какова бы ни была дифференцируемая функция , из соотношения следует

Условие:

Показать, что, какова бы ни была дифференцируемая функция $\varphi$ , из соотношения $\varphi(c x-a z, c y-b z)=0$ следует $a \frac{\partial z}{\partial x}+b \frac{\partial z}{\partial y}=c$

Решение:

Решение задачи

1. Дано

Дано неявное соотношение, связывающее переменные $x, y, z$ через дифференцируемую функцию $\varphi$ :

\varphi(u, v) = 0

где аргументы функции

\varphi

зависят от

x, y, z

следующим образом:

\nu = c x - a z

\nv = c y - b z

Предполагается, что

z

является функцией от

x

y

, то есть

z = z(x, y)

2. Найти

Требуется показать, что из данного соотношения следует дифференциальное уравнение:

\na \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y} = c

3. Решение

Поскольку $\varphi(u(x, y, z), v(x, y, z)) = 0$ , и $z$ завис...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для вычисления частных производных сложной функции, такой как $\varphi(cx-az, cy-bz)=0$, где $z$ является функцией от $x$ и $y$?

Метод интегрирования по частям

Правило дифференцирования сложной функции (цепное правило)

Метод Лагранжа для условного экстремума

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет находить производную функции, аргументы которой сами являются функциями других переменных.
Если функция $\varphi(u, v) = 0$ задает неявную зависимость $z(x, y)$ , где $u = u(x, y, z(x, y))$ и $v = v(x, y, z(x, y))$ , то частные производные по $x$ и $y$ находятся путем дифференцирования $\varphi$ по $x$ и $y$ соответственно, с учетом зависимости $z$ от $x$ и $y$ .
При дифференцировании неявной функции $\varphi(u(x,y,z), v(x,y,z)) = 0$ по $x$ , используется формула $\frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0$ , где $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial v}{\partial x}$ включают $\frac{\partial z}{\partial x}$ .
Аналогично, при дифференцировании по $y$ , используется формула $\frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ , где $\frac{\partial u}{\partial y}$ и $\frac{\partial v}{\partial y}$ включают $\frac{\partial z}{\partial y}$ .
Полученные два уравнения (по $x$ и по $y$ ) образуют систему, из которой можно исключить частные производные функции $\varphi$ (например, их отношение) для получения искомого дифференциального уравнения.