Показать, что поле является потенциальным и найти его потенциал.

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Показать, что поле является потенциальным и найти его потенциал.

\bar{a}=\left(2 x-y^{2}\right) \bar{i}-(z \sin y+2 x y) \bar{j}+(\cos y+2) \bar{k}

Решение:

Мы рассматриваем векторное поле

a = (2x – y²) i – (z sin y + 2xy) j + (cos y + 2) k.

Наша задача – показать, что поле потенциальное (консервативное), то есть существует скалярная функция U(x, y, z), такая что ∇U = a, и найти эту функцию U.

──────────────────────────────
Шаг 1. Проверка, что поле потенциальное

Для того чтобы векторное поле в трехмерном пространстве было потенциальным, оно должно удовлетворять условию равенства совместных производных, что эквивалентно нулевому ротору (curl):

Обозначим компоненты поля:<br...