Показать, что система векторов является базисом в пространстве . Найти координаты вектора в этом базисе, если: а) ; б) ; в) .

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Показать, что система векторов является базисом в пространстве . Найти координаты вектора в этом базисе, если: а) ; б) ; в) .

Условие:

Показать, что система векторов $\mathrm{S}: e_{1}=(1,1,1,1), e_{2}=(0,1,1,1), e_{3}=(0,0,1,1), e_{4}=(0,0,0,1)$ является базисом в пространстве $\mathrm{R}^{4}$ . Найти координаты вектора $\alpha$ в этом базисе, если: а) $\alpha=(2,4,-1,-1)$ ; б) $\alpha=(0,-2,0,-1)$ ; в) $\alpha=(2,0,-1,-2)$ .

Решение:

Мы докажем, что система векторов

e₁ = (1, 1, 1, 1)
e₂ = (0, 1, 1, 1)
e₃ = (0, 0, 1, 1)
e₄ = (0, 0, 0, 1)

является базисом в пространстве ℝ⁴, а затем найдём координаты вектора α в этом базисе для каждого случая.

─────────────────────────────
Шаг 1. Доказательство, что S = {e₁, e₂, e₃, e₄} является базисом ℝ⁴

Набор векторов является базисом, если они линейно независимы и образуют всё пространство ℝ⁴.

Заметим, что если мы запишем вектора как строки (или столбцы), то получим матрицу
<b...