Покажите, что линейное отображение , переводящее в линейную форму , корректно определено и задаёт на векторном пространстве корреляцию. Какая билинейная форма на ей отвечает? Вырождена ли она? Симметрична ли? Какую квадратичную форму задаёт?

1. Постановка задачи и напоминание фактов

• Отождествляем пространство конечномерных линейных операторов End(V) с тензорным произведением V ⊗ V*. Любой элемент f ∈ End(V) можно представить в виде конечной суммы элементарных тензоров f = Σₖ vₖ ⊗ ξₖ, где vₖ ∈ V, ξₖ ∈ V*.

• По теории, каноническое отождествление (V ⊗ V*)* ≅ V* ⊗ V** ≅ V* ⊗ V (при конечномерности V, т.к. V** ≅ V) приводит к тому, что (V ⊗ V*)* ≅ End(V)*.

─────────────────────────────
2. Определение отображения τ и его корректность

Дано линейное отображение
  τ: End(V) ≅ V ⊗ V* → (V ⊗ V*)* ≅ End(V)*,
которое на элементарных тензорах действует по правилу

τ(v ⊗ ξ) : (u ⊗ φ) ↦ ξ(u) · φ(v).

Мы проверяем корректность определения τ:  a) Отображение задано сначала на элементарных тензорах, а затем расширяется линейно на все End(V);  b) Если элемент f ∈ End(V) представим разными способами в виде суммы элементарных тензоров, то линейность определения гарантирует, что итоговая форма τ(f) не зависит от выбора разложения;  c) Таким образом, τ корректно определено и, более того, задаёт изоморфизм End(V) → End(V)*...