Постройте фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислите её площадь. 1) y = x ^ 2 + 1 y = - 3x x = 1 x = 2

Чтобы построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить её площадь, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Построение графиков

1. ...: - Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (0, 1). - Для \( x = 1 \): \( y = 1^2 + 1 = 2 \) - Для \( x = 2 \): \( y = 2^2 + 1 = 5 \) 2. : - Это прямая линия с угловым коэффициентом -3, проходящая через начало координат. - Для \( x = 1 \): \( y = -3 \cdot 1 = -3 \) - Для \( x = 2 \): \( y = -3 \cdot 2 = -6 \) Найдем точки пересечения кривых \( y = x^2 + 1 \) и \( y = -3x \): Решим уравнение: \[ x^2 + 1 = -3x \] Перепишем его: \[ x^2 + 3x + 1 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \] Теперь нам нужно определить, какие из найденных корней находятся в пределах от \( x = 1 \) до \( x = 2 \). Корни: \[ x2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \] Поскольку \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), то: \[ x_2 \approx \frac{-3 + 2.236}{2} \approx \frac{-0.764}{2} \approx -0.382 \] Таким образом, оба корня меньше 1, и мы можем считать, что на отрезке \( [1, 2] \) прямая \( y = -3x \) находится ниже параболы \( y = x^2 + 1 \). Площадь фигуры, ограниченной кривыми, вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \] где \( f(x) = x^2 + 1 \) и \( g(x) = -3x \), а \( a = 1 \) и \( b = 2 \). Теперь вычислим интеграл: \[ S = \int{1}^{2} (x^2 + 3x + 1) \, dx \] Вычислим интеграл: \[ \int (x^2 + 3x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x \] Теперь подставим пределы: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x \right]_{1}^{2} \] Подставляем \( x = 2 \): \[ S(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{12}{2} + 2 = \frac{8}{3} + 6 + 2 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8 + 24}{3} = \frac{32}{3} \] Подставляем \( x = 1 \): \[ S(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{1}{3} + \frac{15}{6} = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} = \frac{1 + 15}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \] Теперь найдем площадь: \[ S = S(2) - S(1) = \frac{32}{3} - \frac{8}{3} = \frac{32 - 8}{3} = \frac{24}{3} = 8 \] Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \( 8 \) квадратных единиц.